Bonjour,
A)1) p = (a + b + c)/2 ⇒
(a + b + c) = 2p/2
(b + c - a) = (a + b + c - 2a) = 2p - 2a
(a + b - c) = (a + b + c - 2c) = 2p - 2c
(a + c - b ) = (a + b + c - 2b) = 2p - 2b
Donc :
(a + b + c)/2 x (b + c - a)/2 x (a + b - c)/2 x (a + c - b)/2
= p(p - a)(p - c)(p - b)
= X
2) 16X = (a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(a + c - b)
⇔ 16X = [a(b + c) - a² + (b + c)(b + c) - a(b + c)][a² -a(b - c) - (b - c)(b - c) + a(b - c)]
⇔ 16X = [(b + c)² - a²][a² - (b - c)²]
B) ABC isocèle en A ⇒ AB = AC ⇔ c = b
⇒ 16X = [(2b)² - a²][a²] = (4b² - a²)a²
2) a) Soit H le pied de la hauteur issue de A. Les triangles AHB et AHC sont rectangles en H et leurs aires sont égales à S/2.
BH = CH = a/2 et AB = AC = b = c
Donc : AH² + BH² = AB² ⇔ AH² = AB² - BH² = b² - a²/4
Soit AH = √(b² - a²/4)
⇒ S = BC x AH/2 = a x √(b² - a²/4)/2 = a/2 x √(b² - a²/4)
b) ⇔ S = a/2 x √[(4b² - a²)/4] = a/4 x √(4b² - a²)
3) 16X = (4b² - a²)a²
S² = a²/16 x (4b² - a²) = X/4 = 16X/16 = X
⇒ S = √X ce qui démontre lé formule (1)
C) ABC rectangle en A
⇒ AB² + AC² = BC²
⇔ c² + b² = a²
16X = [(b + c)² - a²][a² - (b - c)²]
⇔ 16X = [b² + 2bc + c² - c² - b²][c² + b² - b² - c² + 2bc]
⇔ 16X = (2bc)(2bc) = 4b²c²
2) S = AB x AC/2 = c x b/2 = bc/2
⇒ S² = b²c²/4
⇒ 16S² = 4b²c² = 16X
⇒ S = √X
⇔ S = 4X
