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résolu

Bonjour j'ai un dm de maths à faire quelqu'un peut m'aidez svp
Pour tout entier naturel n , on définit les suites (an) et (bn) par
a0=1;b0=0
an+1=an+bn
bn+1=2an



1) a. Calculer les 5 premiers termes de ces deux suites
b pour tout n €N on pose Un=(an bn) (je n'arrive pas à mettre de grandes parenthèses désolée).
Démontrer que l'on a Un+1=MUn où M est une matrice carrée d'ordre 2 que l'on précisera
2 démontrer par récurrence que pour tout n de N on a Un=M^nU0
3 2On donne P=(1 -1
1. 2
Démontrer que P est inversible et calculer P-1
   b. Calculer la matrice D définie par D=P-1MP
   c. Démontrer que M=PDP-1, puis que pour tout entier n, on a Mn=PDnP-1. Ecrire explicitement les coefficients de la matrice Mn
Aidez moi si vous plaît



Répondre :

Bonsoir ;

1)

a)

a0 = 1 ; b0 = 0 ;
a1 = a0 + b0 = 1 ; b1 = 2 ;
a2 = a1 + b1 = 3 ; b2 = 2 ;
a3 = a2 + b2 = 5 ; b3 = 6 ;
a4 = a3 + b3 = 11 ; b4 = 10 .

b)

On a :

[tex]u_{n+1} = \begin {pmatrix}a_{n+1} \\\\ b_{n+1} \end {pmatrix} = \begin {pmatrix}a_{n} + b_{n}\\\\ 2b_{n} \end {pmatrix} = \begin {pmatrix}1&1 \\\\ 0&2 \end {pmatrix}\begin {pmatrix}a_{n} \\\\ b_{n} \end {pmatrix} \\\\ = \begin {pmatrix}1&1 \\\\ 0&2 \end {pmatrix} u_n = M u_n \textit{ avec : } M = \begin {pmatrix}1&1 \\\\ 0&2 \end {pmatrix} .[/tex]

2)

Initialisation :

Soit : I la matrice unité ;
donc : M^0 = I ;
donc : u_0 = I x u_0 = M^0 x u_0 .

Hérédité :

Pour un "n" appartenant à N , supposons qu'on a : u_n = M^n x u_0 .
Calculons : u_(n+1) .
u_(n+1) = M x u_n = M x M^n x u_0 = M^(n+1) x u_0 .

Conclusion :

Pour tout n appartenant à N , on a : u_n = M^n x u_0 .

3)

a)

le déterminant Δ de la matrice P est :

[tex]\Delta = \begin{vmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 + 1 = 3 \neq 0 ; [/tex]

donc P est inversible .

[tex]P^{-1} = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2&1\\-1&1 \end{pmatrix} ;[/tex]

b)

On a :

[tex]P^{-1} M = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2&1\\-1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2&4\\-1&1 \end{pmatrix} ; [/tex]

donc :

[tex]D = P^{-1}MP = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2&4\\-1&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&-1\\1&2 \end{pmatrix} \\\\ = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 6&6\\0&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&2\\0&1 \end{pmatrix} .[/tex]

c)

D = P^(-1) MP ;
donc : PD = P P^(-1)MP = MP ;
donc : PDP^(-1) = MPP^(-1) = M .

Initialisation :

M^0 = I : avec I la matrice unité ; D^0 = I .
M^0 = I = PP^(-1) = P I P^(-1) = P D^0 P^(-1) .

Hérédité :

Pour un "n" appartenant à N , supposons qu'on a M^n = P D^n P^(-1) .
Calculons : M^(n+1) .
M^(n+1) = M M^n = P D P(-1) P D^n P^(-1) = P D^(n+1) P^(-1) .

Conclusion :

Pour tout "n" appartenant à N , on a : M^n = P D^n P^(-1) .

On a D une matrice diagonale , donc :

[tex]D^n = \begin{pmatrix} 2^n&2^n \\ 0&1 \end{pmatrix} ;[/tex]

donc :

[tex]PD^n = \begin{pmatrix} 1&-1\\ 1&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2^n&2^n \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^n&2^n -1\\ 2^n&2^n+2 \end{pmatrix} ;[/tex]

donc :

[tex]M^n=PD^n P^{-1}= \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2^n&2^n -1\\ 2^n&2^n+2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2&1\\ -1&1 \end{pmatrix} \\\\ = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2^n+1&2^{n+1} -1\\ 2^{n}-2&2^{n+1}+2 \end{pmatrix} .[/tex]
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