Bonjour,
Partie A
1) g'(x) = 2x - 2/x = (2x² - 2)/x = 2(x² - 1)/x = 2(x - 1)(x + 1)/2
x 0 1 +∞
x-1 - 0 +
g'(x) || - 0 +
2)
g(x) || décroissante croissante
3) g(1) = 1² - 2ln(1) + 2 = 3
donc g(1) > 0
Or g atteint un minimum sur I pour x = 1
Donc, pour tout x ∈ , g(x) > 0
Partie B
1)a) lim f(x) quand x→0
= lim ln(x)/x + x/2 - 1
= lim ln(x)/x - 1 ( car lim x/2 quand x→0 = 0)
= -∞ (ln(x) → -∞ donc ln(x)/x → -∞)
b) oublié je suppose dans l'énoncé : lim f(x) quand x→+∞
= lim x/2 - 1 car lim ln(x)/x = 0
= +∞
2)a) f'(x) = [(1/x * x) - ln(x)]/x² + 1/2
= 2[1 - ln(x)]/2x² + x²/2x²
= (x² - 2ln(x) + 2)/2x²
= g(x)/2x²
b)
x 0 +∞
g(x) +
f'(x) +
f(x) 0 croissante +∞
3)a)
f(1) = 0 + 1/2 - 1 = -1/2
f(2) = ln(2)/2 + 2/2 - 1 = ln(2)/2
b) f(1) < 0
f(2) > 0
et f est strictement croissante sur I
Donc il existe un unique α ∈ [1;2] tel que f(α) = 0
c) on trouve α ≈ 1,47 à 10⁻² près
4) T : y = f'(1)(x - 1) + f(1)
f'(1) = 3/2
f(1) = -1/2
Donc T : y = 3/2(x - 1) - 1/2 ⇔ y = 3x/2 - 2
5) voir ci-joint
