1) (Les vecteurs sont notés sans la flèche)
Cherchons a et b tels que DC = a AB + b AC
D'après la relation de Chasles : DC= DA +AC
Or [tex]AD = \frac{1}{3} AB[/tex] ⇔ [tex]DA = - \frac{1}{3} AB[/tex]
Donc [tex]DC = - \frac{1}{3} AB + AC[/tex]
Donc [tex]a = - \frac{1}{3}[/tex] et [tex]b = 1[/tex]
Cherchons c et d tels que BE = cAB +dAC
D'après la relation de Chasles : BE = BA + AE
Or AE = 3 AC
Donc BE = BA + 3 AC ⇔BE = - AB + 3 AC
Donc c = (-1) et d = 3
2) Nous venons de démontrer que
BE = - AB + 3 AC ⇔ BE = 3AC - AB
Or [tex]AD = \frac{1}{3} AB[/tex] ⇔ AB = 3 AD
Donc BE = 3AC - AB ⇔ BE = 3AC - 3AD ⇔ BE = 3(AC - AD)
⇔ BE = 3(AC + DA) ⇔ BE = 3(DA + AC) ⇔ BE = 3 DC
Donc les vecteurs BE et DC sont colinéaires. Nous pouvons donc en déduire que les droites (BE) et (CD) sont parallèles : (BE) // (CD)
