Bonjour ,
90)
1) f '(x)=2x qui est >0 sur [0;+inf[
g '(x)=x+1 qui est > 0 sur ]-1;+inf[
h ' (x)=-2x+4 qui est > 0 sur ]-inf;-2]
Tu as les signes des dérivées donc tu peux faire les tableaux de variation.
2)
a)
Tu calcules f(1) , g(1) et h(1) et tu dois trouver que : f(1)=g(1)=h(1)=2
b) Tu montres que f ' (1)=g '(1)=h '(1).
Les 3 tangentes ont même coefficient directeur donc sont // mais comme elles passent par A, elles sont donc donc confondues.
3)
L'équation d'une tangente à f(x) en un point d'abscisse "a" est :
y=f '(a)(x-a)+f(a).
Tu vas trouver comme équation : y=2x.
f(x)-2x=x²-2x+1=(x-1)² qui est ≥ 0 car c'est un carré.
Donc f(x)-2x ≥ 0 ==>f(x) ≥ 2x : tu conclus.
g(x)-2x=1/2x²-x+1/2=(1/2)(x²-2x+1)=(1/2)(x-1)²-->comme ci-dessus.
h(x)-2x=-x²+2x-1=-(x²-2x+1)=-(x-1)² qui est ≤ 0 : tu conclus.
4) Voir pièce jointe.
5) Le coeffient directeur de y=x est 1.
On résout : f '(x)=1 qui donne 2x=1 soit x=1/2.
Il faut calculer f(1/2)=5/4
Equation : y=1*(x-1/2)+5/4=x-2/4+5/4=x+3/4 qui est // à y=x.
Ensuite tu fais g '(x)=1 qui donne x+1=1 soit x=0.
Equation cherchée : y=1*(x-0)+g(0) -->tu fais.
Puis tu calcules : h '(x)=1 qui donne -2x+4=1 soit x=3/2
Equation cherchée : y=g '(3/2)(x-3/2)+g(3/2) -->bon courage pour le calcul !!
91)
1) Tu vois avec ton logiciel je suppose.
2)
Soit f(x)=x² ==>f '(x)=2x
Equation tangente en "a" : y=f '(a)(x-a)+f(a)
y=2a(x-a)+a²
y=2ax-a²
3)
Cette tangente doit passer par S(2;-1).
On résout donc :
2a*2-a²=-1 soit :
a²-4a-1=0
Δ=(-4)²-4*1*(-1)=20
√Δ=√20=2√5
a1=2-√5 et a2=2+√5
On a donc 2 tangentes à la parabole passant par S(2;-1).
f(2-√5)=9-4√5
Tu places A(2-√5;9-4√5) et tu relies S et A.
f(2+√5)=9+4√5)
Tu places B(2+√5;4+9√5) et tu relies S et B.
La 1ère pièce jointe est celle du 90 et la 2ème , celle du 91.
