Bonjour,
1) Soit f la fonction définit par:
f(x)=2x-1/x-2
f'(x)=(2x-1/x-2)'
f'(x)=2+1/x²
Soit g la fonction définit par:
g(x)=x+1/x-2
g'(x)=(x+1/x-2)'
g'(x)=1-1/x²
On a donc: f'(x)≠g'(x) donc les 2 dérivées sont différentes.
2) On part de l'énoncé qui nous dit que:
f(x)=g(x)
f(x)-g(x)=0
On dérive alors cette nouvelle fonction:
(f(x)+g(x))'=0
Comme les 2 fonctions sont dérivables sur [4;30] alors nous pouvons écrire:
f'(x)-g'(x)=0
f'(x)=g'(x)
On en conclut que si 2 fonctions sont égales alors leur dérivée sont égales.
3) Si deux fonctions dérivées sont égales alors leur fonctions sont égales.
4) Pour faire cette démonstration, je vais utiliser un exemple.
On définit h'(x)=2x et I'(x)=2x sur R, on a donc:
h'(x)=I'(x)
Or, 2x peut être la dérivée de x² et de toutes fonctions de la forme x²+C où C est une constante (C≠0).
On va supposer que h(x)=x² et I(x)=x²+C avec C≠0, on a donc:
x²≠x²+C
h(x)≠I(x)
La proposition est donc fausse.
