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JENIFERJONATHANVIZ
résolu

Bonjour j'ai un DM de Mathématique à rendre bientôt cependant je suis coincé et j'aurais besoin de votre aide s'il vous plait je suis en 2nde:

Soit ABC un triangle, A', B' et C' les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB], et O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

1.Faire une figure à la main ou avec un logiciel.

2. a) Construire le point D tel que vecOD=vecOA+vecOB
Quelle est la nature du quadrilatère OADB ?

b) En déduire que les droites (OD) et (AB) sont perpendiculaires.

3. a) Construire H tel que vecOH=vecOA+vecOB+vecOC

b)Quelle est la nature du quadrilatère ODHC ?

c) En déduire que (CH) est perpendiculaire à (AB).

4. Quelles autres relations démontrerait-on de même ? En déduire une propriété des trois hauteurs du triangle.

Ou j'en suis dans mon travaille:
Pour le moment j'ai fais la figure et je pense avoir répondu au 2.a:
On sait que vec OD = vecOA + vecOB
Or par la relation de Chasles on a vecOD = vecOA + vecAD
Donc vecOA + vecOB = vec OA + vec AD
On ajoute maintenant vec AO de chaque coté vectorielle:
vec AO + OAvec +OB vec =OA vec + AOvec + ADvec
Donc vec OB = vec AD
Par équivalence, ABDC est un parallélogramme.

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

1) voir figure ci-joint

2)a) OD = OA + OB (en vecteurs)

A et B appartiennent au cercle circonscrit au triangle ABC, de centre O.

Donc, OA = OB en longueurs

Or AD = AO + OD ⇒ AD = -OA + OA + OB = OB

De même, BD = BO + OD = -OB + OA + OB = OA

Donc AD = OB et BD = OA (en vecteurs !!)

De plus A et B appartiennent au cercle de centre O. Donc OA=OB (en longueurs)

Conclusion : OADB est un losange

b) Les droites (OD) et (AB) étant les diagonales de OADB, on en déduit que (OD) et (AB) sont perpendiculaires.

3)a) OH = OA + OB + OC = OD + OC pour la construction

b) CH = CO + OH = -OC + OD + OC = OD

⇒ ODHC est un parallélogramme

c) CH = OD ⇒ (CH)//(OD)

Or (OD)⊥(AB)

Donc (CH)⊥(AB)

4) On en déduit que (CH) est la hauteur de ABC issue de C.

On a construit H à partir de : OH = OA + OB + OC = OD + OC

On pourrait construire de même H' et H" tel que :

OH' = OA + OB + OC en partant de OH' = OD' + OA soit OD' = OB + OC

OH" = OB + OB + OC en partant de OH" = OD" + OB soit OD" = OA + OC

On pourrait alors conclure H = H' = H"

Et donc que les 3 hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point H appelé l'orthocentre.
Voir l'image SCOLADAN
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