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PAOLINE0083VIZ
résolu

Bonjour pouvez vous m'aider pour mon DM de Mathématiques.
Une entreprise produit des téléviseurs 3D.
Le cout de production, en milliers d'euros, pour x téléviseurs fabriqués est donné par:
C(x)= 0.02x²-2x+98
où x appartient à l'intervalle [0;150]. Chaque téléviseur est vendu 1500 euros.

1) Pour quelle quantité de téléviseurs vendus l'entreprise fait-elle un bénéfice ?
2) Pour quelle quantité de téléviseurs vendus l'entreprise fait-elle un bénéfice de 40000 euros ?

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

1) Recette : R(x) = 1,5x

et bénéfice : B(x) = R(x) - C(x)

Soit B(x) = 1,5x - (0,02x² - 2x + 98)= -0,02x² + 3,5x - 98

B(x) ≥ 0

⇔ -0,02x² + 3,5x - 98 ≥ 0

⇔ x² - 175x + 4900 ≤ 0    (en ayant multiplié par 50)

Δ = (-175)² - 4x1x4900 = 30625 - 19600 = 11025 = 105²

Donc 2 racines : x = (175 - 105)/2 = 35    et x = (175 + 105)/2 = 140

x                         0                     35                 140                150
(x - 35)                           -           0         +                    +
(x - 140)                         -                      -          0         +
x²-175x+4900               +          0         -          0         +

(x² - 175x + 4900) = -50xB(x)

Donc B(x) ≥ 0 pour x ∈ [35;140]

2) B(x) = 40

⇔ -0,02x² + 3,5x - 98 = 40

⇔ -0,02x² + 3,5x - 138 = 0

⇔ x² - 175x + 6900 = 0

Δ = (-175)² - 4x1x(6900) = 30625 - 27600 = 3025 = 55²

x = (175 - 55)/2 = 60

x = (175 + 55)/2 = 115

Donc bénéfice de 40000 € pour 60 ou 115 téléviseurs
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