Bonjour,
Partie B
1) On peut conjecturer que : ∀ x ∈ R, f(x) ≤ g(x)
2)Sur ]-∞;0], d'après la partie A, f(x) ≤ 0. En effet :
x -∞ -√2/2 0 √2/2 +∞
f'(x) - 0 + + 0 -
f(x) décrois. croissante ...
f(0) = 0 et lim f(x) quand x→-∞ = 0
Or g(x) = e¹⁻ˣ ⇒ g(x) > 0 pour tout x réel.
Donc, pour tout x ∈ ]-∞;0], f(x) < g(x)
3) ∀ x ∈ ]0;+∞[, Φ(x) = ln(x) - x² + x
a) f(x) ≤ g(x)
⇔ xe^(1 - x²) ≤ e¹⁻ˣ
⇒ ln[xe^(1 - x²)] ≤ ln[e¹⁻ˣ]
⇔ ln(x) + ln[e^(1 - x²)] ≤ ln[e¹⁻ˣ]
⇔ ln(x) + (1 - x²) ≤ 1 - x
⇔ ln(x) - x² + x ≤ 0
⇔ Φ(x) ≤ 0
b) On admet que :
. f(x) = g(x) ⇔ Φ(x) = 0
. Φ est dérivable sur ]0;+∞[
Φ'(x) = 1/x - 2x + 1 = (-2x² + x + 1)/x
Signe de (-2x² + x + 1) sur ]0;+∞[ :
Δ = 1² - 4x(-2)x(1) = 9 = 3²
Donc 2 racines : x₁ = (-1 + 3)/(-4) = -1/2 ∉ ]0;+∞[
et x₂ = (-1 - 3)/(-4) = 1
x 0 1 +∞
Φ'(x) + 0 -
Φ(x) croissante 0 décroissante
