Bonjour,
1)
Développement:
[tex]f(x) = 2-(x-1)^2\\
f(x) = 2-(2x^2-2x+1)\\
f(x) = 2-x^2+2x-1\\
f(x) = x^2+2x+1\\\\
[/tex]
Calcul du maximum: (α; β)
[tex]\alpha =\dfrac{-b}{2a}\\\\
\alpha= \dfrac{-2}{2\times(-1)}\\
\alpha= \dfrac{-2}{-2}\\
\boxed{\alpha = 1}\\\\
\beta = f(\alpha)\\
\beta = -(1)^2+2\times1 + 1\\
\beta = -1+2+1\\
\boxed{\beta = 2}\\\\[/tex]
Le maximum est bien atteint pour M = 2.
2)
Le domaine de ce polynôme est ]-∞; + ∞[
Étudions cette fonction plus précisément.
[tex]x^-4x+1=0\\\\\Delta = b^2-4ac\\\Delta = (-4)^2-4\times 1\times1\\\Delta = 16-4\\\Delta = 12\\\\\Delta > 0 \text{ donc deux solutions}\\a > 0 \text{ donc courbe d\'ecroissante-croissante (tourn\'e vers le haut)}\\\\\alpha = \dfrac{-b}{2a}\\\\\alpha = \dfrac{-(-4)}{2\times1}\\\\\alpha = \dfrac{4}{4}\\\\\alpha = 2[/tex]
En faisant le tableau de variation avec les éléments que je tonne tu pourras prouver que:
La fonction est bien strictement décroissante sur ]–∞;2] et strictement croissante sur [2;+∞[
