Bonjour,
1)a) D'après l'énoncé, on sait que le prix est donné par:
p(x)=62-(x/4)
On sait que l'on a produit 40 objets donc son prix est donné par:
p(40)=62-(40/4)=62-10=52 €
La recette totale R est alors donnée par:
R=40*52=2080 €
Avec la production et la vente de 40 objets donne une recette de 2080€
b) On part de la relation du prix:
p(x)=62-(x/4)
On sait que la recette dépends du nombre d'objets vendus au prix p(x). Comme nous avons produit et vendu x objets alors R(x) est donné par:
R(x)=x*p(x)
R(x)=x(62-x/4)
2) Il faut te souvenir que le bénéfice B(x) est la différence entre la recette R(x) et le coût C(x) donc:
B(x)=R(x)-C(x)
B(x)=x(62-x/4)-(0.2x²+8x+500)
B(x)=62x-0.25x²-0.2x²-8x-500
B(x)=-0.45x²+54x-500 ---->CQFD
3)a) Pour qu'un bénéfice soit fait, il est nécessaire que la recette soit supérieure au coût donc il faut que B(x)>0 donc:
B(x)>0
-0.45x²+54x-500>0
On commence par résoudre B(x)=0 donc:
-0.45x²+54x-500=0
Δ=b²-4ac=(54)²-4(-0.45)(-500)=2916-900=2016
x(1)=(-b-√Δ)/2a=(-54-√2016)/(2*(-0.45))≈110
x(2)=(-b+√Δ)/(2a)=(-54+√2016)/(2*(-0.45))≈10
On peut alors écrire le polynôme sous la forme suivante:
B(x)=-0.45(x-110)(x-10)
Comme a=-0.45<0 et que Δ>0 donc B(x) est positif que si x∈]10;110[ donc il faut produire au moins 11 objets pour produire un bénéfice
b) Pour répondre à cette contrainte, nous devons résoudre l'équation:
-0.45x²+54x-500=400
-0.45x²+54x-900=0
Δ=b²-4ac=(54)²-4(-0.45)(-900)=2916-1620=1296
x(1)=(-54-√1296)/(2*(-0.45))=100
x(2)=(-54+√1296)/(2*(-0,45))=20
Donc on fait 400€ de bénéfice si on produit 20 ou 100 objets.
