Comparons d'abord g(x)=x² et f(x)=x
x² > x⇔ x²-x > 0 ⇔ x (x-1) >0
En faisant un tableau de signe, nous pouvons déterminer quand ce produit entre x et (x-1) est positif, nul ou bien négatif et
donc respectivement quand x² > x, x² = x ou bien x² < x
Bien sûr (x-1) est nul quand x=1
x | -∞ 0 1 +∞ |
-------------------------------------------------------------------------
x | - 0 + | + |
-------------------------------------------------------------------------|
(x-1) | - | - 0 + |
-------------------------------------------------------------------------
x²-x | + 0 - 0 + |
-------------------------------------------------------------------------
| x² > x x²=x x²<x x²=x x² > x |
Comparons maintenant g(x)=x² et h(x)=x³
x³ > x² ⇔ x³-x² > 0 ⇔ x (x² - x) > 0
Nous avons étudié le signe de (x² - x) dans le tableau précédent.
Nous pouvons donc reprendre les lignes "x" et "x² - x" du tableau précédent pour déterminer le signe du produit de x par (x²-x), donc de x³-x².
x | -∞ 0 1 +∞ |
-------------------------------------------------------------------------
x | - 0 + | + |
--------------------------------------------------------------------------
x²-x | + 0 - 0 + |
-------------------------------------------------------------------------
x³ - x² | - 0 - 0 + |
---------------------------------------------------------------------------
| x³ < x² x³=x² x³<x² x³=x² x³>x² |
Comparons enfin h(x) = x³ et f(x)=x
x³ > x ⇔ x³-x > 0 ⇔ x(x²-1) > 0
Si x²-1 = 0 alors x =1 ou x=(-1).
Or dans un polynôme du second degrès (ax² + bx + c) est du signe du coefficient a sauf entre ses racines. Donc ici, x²-1 est positif sauf entre -1 et 1.
Nous pouvons donc réaliser le tableau ci-dessous pour étudier le signe de
x³-x
x | -∞ -1 0 1 +∞ |
------------------------------------------------------------------------------------------------
x | - | - 0 + | + |
-----------------------------------------------------------------------------------------------
x²-1 | + 0 - | - 0 + |
------------------------------------------------------------------------------------------------
x³-x | - 0 + 0 - 0 + |
------------------------------------------------------------------------------------------------
| x³<x x³=x x³>x x³=x x³<x x³=x x³>x |
En conclusion, en reprenant les comparaisons effectuées grâce à ces trois tableaux de signe :
Sur ]-∞ ; -1[ : x² > x > x³
Lorsque x=(-1) alors x² > x et x = x³
Sur ]-1 ; 0[ : x² > x³ > x
Lorsque x=0 alors x=x²=x³
Sur ]0 ; 1[ : x > x² > x³
Lorsque x=1 alors x=x²=x³
Sur ]1 ; +∞[ : x³ > x² >x
