Bonjour,
Ex 1
1) z = a + ib ⇒ zbarre = a - ib
a - ib + i = 2a + 2ib - 1
⇒ a = 2a - 1
et 1 - b = 2b
⇔ a = 1 et b = 1/3
⇒ z = 1 + i/3
2) [(z - 2i)/(z + 3)]² + 4[(z - 2i)(z + 3)] + 8 = 0 (⇒ z ≠ -3)
On pose Z = (z - 2i)/(z + 3)
⇒ Z² + 4Z + 8 = 0
Δ = 4² - 4x1x8 = 16 - 32 = -16 = (4i)²
Donc 2 solutions :
Z₁ = (-4 - 4i)/2 = -2 - 2i
Z₂ = (-4 + 4i)/2 = -2 + 2i
-2 - 2i = (z - 2i)/(z + 3)
⇔ (-2 - 2i)(z + 3) - (z - 2i) = 0
⇔ (-3 - 2i)z - 6 + 2i = 0
⇔ z = -(6 - 2i)/(3 + 2i)
⇔ z = -(6 - 2i)(3 - 2i)/(9 + 4)
⇔ z = (-14 + 18i)/13
idem pour Z₂...
(et vérifie mes calculs car faits à l'arrache...)
Ex 2
En déduire : De quoi ???
Ex 3)
a) ...
b) f(z) = (z - i - 1)(z² + αz + β)
= z³ + αz² + βz - iz² - iαz - iβ - z² - αz - β
= z³ + (α - i - 1)z² + (β - iα - α)z - iβ - β
⇒ α - i - 1 = - i + 1 ⇒ α = 2
β - 2i - 2 = 1 - 2i ⇒ β = 3
-3i - 3 = -3 - 3i
⇒ f(z) = (z - i - 1)(z² + 2z + 3)
c) f(z) = 0
⇒ z = 1 + i
ou z² + 2z + 3 = 0
Δ = 4 - 12 = -8 = (2√2i)²
z = -1 - √2i ou z = -1 + √2i
Ex 4)
1)
lim g(x) quand x→-∞
= lim 3/x² = 0+
lim g(x) quand x→+∞
= lim -eˣ/x²
= -∞ (croissances comparées)
lim g(x) quand x→0⁺
= lim 3(1 - eˣ)/x²
= lim 3(1 - eˣ)(1 + eˣ)/(1 + eˣ)x²
= lim 3(1 - e²ˣ)/(1 + eˣ)x²
= lim 3/(1 + eˣ)x² - lim 3e²ˣ/(1 + eˣ)x²
= lim 3/2x² - lim 3e²ˣ/2x²
= (0) - ∞
= -∞
idem en 0⁻ : +∞
2) h(x) = eˣ(x² - 4x + 5)
lim h(x) quand x→ +/-∞
= lim eˣx²
donc en -∞ : 0⁺
et en +∞ : +∞
