Bonjour,
1) u(2;1) est un vecteur directeur de (D) : x - 2y + 3 = 0
H(x;y) projeté orthogonal de A(1;-1) sur (D)
⇒ u.AH = 0
⇔ 2(x - 1) + 1(y + 1) = 0
⇔ 2x + y - 1 = 0
⇔ y = 1 - 2x
H ∈ (D) ⇒ y = (x + 3)/2
⇒ 2x + (x + 3)/2 - 1 = 0
⇔ 4x + x + 3 - 2 = 0
⇔ x = -1/5
⇒ y = (-1/5 + 3)/2 = 7/5
⇒ H(-1/5 ; 7/5)
2) Distance de A à (D) = AH = ||AH||
AH(-1/5 - 1 ; 7/5 + 1) soit AH(-6/5 ; 12/5)
⇒ AH = √[(-6/5)² + (12/5)²] = √(36/25 + 144/25) = √(180/25) = 6√(5)/5 (≈ 2,68)
3) A'(x;y) sym. de A par rapport à (D)
⇒ AA' = 2AH
⇔ x - 1 = 2 x (-6/5)
et y +1 = 2 x (12/5)
⇔ x = -7/5
et y = 19/5
Donc A'(-7/5 ; 19/5)
4) (Δ) ⊥ (D) passant par B(-3;0)
⇒ ∀ M(x;y) ∈ (Δ), BM.u = 0
⇔ 2(x + 3) + 1(y - 0) = 0
⇔ 2x + y + 6 = 0
Donc (Δ) : 2x + y + 6 = 0
Distance de A à (Δ) (je crois que c'est la question ? car illisible)
(Δ) ⊥ (D) ⇔ (BH) ⊥ (AH)
⇒ d(A,(Δ)) = BH
et BH = √[(-1/5 + 3)² + (7/5 - 0)²] = √(196/25 + 49/25) = √(245)/5 (≈ 3,13)
