1°) proba ( Fumer le 2 janvier ) = 0,1 = 10 %
p ( ne pas fumer le 2 janv ) = p (G) = 0,9 = 90%
probas pour le 3 janvier :
proba ( GF ) = 0,9 x 0,1 = 0,09 = 9 %
p ( FF ) = 0,1 x 0,7 = 0,07 = 7 %
d' où p ( Fumer le 3 janv = 9 % + 7 % = 0,16
2a) Fn+1 = 0,6 x Fn + 0,1 est bien vérifiée puisque F1 = 0,1o ; F2 = 0,16 ; F3 = 0,196 ; ...
donc on prend bien la proba de Fumer précédente, on la multiplie par 0,6 ,
puis on ajoute à ce résultat 0,1
2b) Un = Fn - 0,25 = 0,6 Fn-1 + 0,1 - 0,25 = 0,6 Fn-1 - 0,15
donc Un+1 = 0,6 Fn - 0,15 = 0,6 ( 0,6 Fn-1 + 0,1 ) - 0,15 = 0,36 Fn-1 + 0,06 - 0,15
= 0,36 Fn-1 - 0,09 = 0,6 ( 0,6 Fn-1 - 0,15 ) = 0,6 Un
d' où : Un+1 = 0,6 Un
(Un) est bien une suite géométrique de raison q = 0,6 et de premier terme U1 = - 0,15
Un = - 0,15 x 0,6 puissance (n-1)
2c) Fn = Un + 0,25
Fn = - 0,15 x 0,6 puiss (n-1) + 0,25
Fn = - 0,25 x 0,6 puiss n + 0,25
Fn = 0,25 x ( 1 - 0,6 puiss n )
2d) proba de fumer le 11 nov = proba de fumer dans 45 semaines, donc 45 x 7 = 315
proba de fumer dans 314 jours puisqu' on part du 2 janvier :
F314 = 0,25 x ( 1 - 0,6 puiss 314 ) = 0,25 environ
remarque : cette "limite" des 25 % de chances de fumer encore est déjà atteinte
au bout d' 1 mois ( de 30 jours donc ! ) .
Conclusion : on a 1 chance sur quatre de fumer encore ...
ce qui veut dire qu' on a 3 chances sur 4 d' arrêter de fumer !
