Salut ! :)
1) f(y) - f(x) = (y - 1)² + 2 - [(x - 1)² + 2]
= y² - 2y + 1 + 2 - (x² - 2x + 1 + 2)
= y² - 2y + 3 - x² + 2x - 3
= y² - x² + 2x - 2y
2) y² - x² = (y - x)(y + x)
Donc y² - x² + 2x - 2y = (y - x)(y + x) + 2x - 2y
= (y - x)(y + x) - 2 (y - x)
= (y - x)(y + x - 2)
3) Si 1 ≤ x ≤ y, alors y - x ≥ 0
De plus, si x ≥ 1 et y ≥ 1, alors x + y ≥ 2, donc x + y - 2 ≥ 0
Le produit de deux nombres positifs est positif
Donc f(y) - f(x) ≥ 0 si 1 ≤ x ≤ y
4) Si x ≤ y ≤ 1, alors y - x ≥ 0
De plus, si x ≤ 1 et y ≤ 1, alors x + y ≤ 2, donc x + y - 2 ≤ 0
Le produit d'un nombre positif et d'un nombre négatif donne un nombre négatif
Donc f(y) - f(x) ≤ 0 si x ≤ y ≤ 1
5) f(y) - f(x) ≥ 0, c'est pareil que f(y) ≥ f(x)
f(y) - f(x) ≤ 0, c'est pareil que f(y) ≤ f(x)
Si 1 ≤ x ≤ y, f(x) ≤ f(y) (l'ordre est conservé) donc la fonction f est croissante sur [1 ; +∞[
Si x ≤ y ≤ 1, f(x) ≥ f(y) (l'ordre est inversé) donc la fonction f est décroissante sur ]-∞ ; 1]
Voilà ! :)
