1°) Uo = 3 ; U1 = 4,25 ; U2 = 3,9375 ; U3 = 4,015625 ; U4 = 3,996... ; U5 = 4,00097656...
donc la "conjecture" ou "supposition" est :
la suite (Un) oscille autour de la valeur 4 rapidement
( une fois au-dessous, puis une fois au-dessus ) .
Si on admet Un = 4 alors Un+1 = - 0,25 Un + 5 devient
Un+1 = - 0,25 * 4 + 5 = - 1 + 5 = 4
Puisqu' à la fin, on aura Un+1 = Un, on pourra admettre que
la limite de Un pour "n" infini vaut bien 4
2°) Vo = Uo - 4 = - 1 ; V1 = U1 = 4,25 - 4 = 0,25 = 1/4 ; V2 = U2 - 4 = - 0,0625 = - 1/16 ;
V3 = U3 - 4 = 0,015625 = 1/64 ; ...
donc (Vn) est bien une suite géométrique de 1er terme Vo = - 1 et de raison "q" = - 0,25
3°) Vn = - 1 * ( - 0,25 ) puissance n = - [ ( - 0,25 ) puiss n ]
d' où Un = Vn + 4 = 4 - [ ( - 0,25 ) puiss n ]
4a) si "n" est pair, alors Vn = - 0,25 puiss n = - "positif" = "négatif"
si "n" est impair, alors Vn = - [ - ( 0,25 puiss n ) ] = + 0,25 puiss n = "positif"
4b) la suite (Vn) prend des valeurs alternativement négatives puis positives,
elle n' est donc pas toujours "croissante" par exemple,
cette suite (Vn) n' est donc pas MONOTONE !
Comme Un = Vn + 4 ; la suite (Un) n' est pas MONOTONE non plus !
