Exercice 1
Question 1 = Voir pièce jointe
Question 2
Démontrons que EBG est
un triangle rectangle
On utilise la formule qui donne la longueur d'un segment en
fonction des abscisses et des ordonnées des points à chacune de ses extrémités.
La longueur d'un segment EB est donnée par la formule
[tex]EB = \sqrt{(x_B-x_E)^2+(y_B-y_E)^2} [/tex]
(On pourrait aussi écrire [tex]EB =
\sqrt{(x_E-x_B)^2+(y_E-y_B)^2}[/tex]
Ça n'aurait pas d'importance et on trouverait la même chose
puisque que les différences sont élevées au carré : (a - b)² = (b - a)² )
(Pour se souvenir de cette formule, c'est plus facile
lorsqu'on sait qu'elle se démontre grâce au théorème de Pythagore.)
Donc [tex]EB = \sqrt{(1-3,8)^2+(4+0,6)^2}[/tex]
[tex]EB = \sqrt{7,84+21,16}= \sqrt{29} [/tex]
On fait de même pour BG et EG :
[tex]BG = \sqrt{(3,8-5)^2+(-0,6-1)^2}= \sqrt{1,44+2,56} =
\sqrt{4} =2[/tex]
[tex]EG = \sqrt{(5-1)^2+(1-4)^2}= \sqrt{16+9} = \sqrt{25}
=5[/tex]
Calculons EG² + BG²
EG² + BG² = 25 + 4 = 29
Donc EG² + BG² = EB²
D'après la réciproque du théorème de Pythagore : si EG²+BG² =
EB² alors EBG est un triangle
rectangle en G.
Calculons l'aire de
EBG
L'aire d'un triangle EBG est donnée par la formule
[tex]Aire = \frac{Base * Hauteur}{2} [/tex]
(Cela marche pour tous les triangles, qu'ils soient
rectangles ou pas.)
Donc, ici une hauteur possible de EBG est [BG] si on prend
[EG] pour base, (ou l'inverse : [EG] si on prend [BG] pour base).
L'aire de EBG est donc
[tex]A = \frac{EG * BG}{2} = \frac{5*2}{2} =5[/tex]
L'aire de EBG est égale
à 5.
(Si les unités du repère, c'est-à-dire les graduations des
axes, sont en centimètre alors l'aire est de 5 cm². Sinon tu peux dire
simplement que l'aire est égale à 5. Je pense qu'on pourrait écrire que l'aire
est égale à 5 OI² puisque la longueur OI est l'unité sur l'axe des abscisses et
que c'est un repère orthonormé, OI = OJ, mais oublie cela si tu n'as
jamais vu cette notation.)
Question 3a
Calculons les
coordonnées de K, milieu de [EB]
L'abscisse de K est donné par la formule [tex]x_K =
\frac{x_B+x_E}{2} [/tex]
(L'abscisse du milieu correspond à la moyenne des abscisses
des deux extrémités.)
Donc [tex]x_K = \frac{1+3,8}{2}= \frac{4,8}{2} =2,4[/tex]
Pour calculer l'ordonnée, c'est une formule identique :
l'ordonnée du milieu est la moyenne des ordonnées des extrémités.
Donc [tex]y_K = \frac{4-0,6}{2}= \frac{3,4}{2} =1,7[/tex]
Donc le milieu K de
[EB] a pour coordonnées (2,4 ; 1,7).
Question 3b
Pour savoir si K se trouve sur le cercle de centre O et de
rayon 3, nous allons calculer la distance OK. Si OK est égale à 3, alors K sera
sur le cercle.
Nous utilisons la même formule que pour la question 2, qui
est plus facile ici puisque les coordonnées de O sont (0 ; 0).
Donc [tex]OK = \sqrt{2,4^2+1,7^2} = \sqrt{8,65} [/tex] ≈
2,94
Donc OK < 3 et, par
conséquent, K n'est pas sur le cercle de centre O et de rayon 3. K se trouve
juste à l'intérieur du cercle.
Exercice 2
Question 1
0-30 30-60 60-120
120-240 240-480
Effectif 275
300 250
125 50
Fréquence 0,275 0,3
0,25 0,125
0,05
Centre 15
45 90
180 360
FCC 0,275
0,575 0,825 0,95
1
Question 2
Pour calculer une estimation de la moyenne, on prend le centre de chaque
classe (4ème ligne du tableau) qu'on multiplie par l'effectif de la classe
(2ème ligne). On effectue la somme de tous ces produits puis on divise par
l'effectif total.
On trouve
[tex]M= \frac{275*15 + 300*45 +250*90+125*180+50*360}{1000}
=80,625[/tex]
Une autre possibilité (qui revient au même) consiste à
multiplier le centre de chaque classe par la fréquence (3ème ligne du tableau)
et à faire les sommes des produits.
[tex]M= 0,275*15 + 0,3*45 +0,25*90+0,125*180+0,05*360[/tex] =
80,625
L'estimation de la
durée quotidienne moyenne d'utilisation des smartphones par les adolescents est
donc de environ 80,6 minutes, soit 1 heure 20 min.
Question 3a
Pour tracer le polygone des fréquences cumlées,on place
d'abord les points de coordonnées la limite supérieure de la classe et la
fréquence cumulée correspondante
soit (30 ; 0,275) , (60 ; 0,575), (120; 0,825), (240; 0,95)
et (480 ; 1)
On les relie.
Question 3b
Pour déterminer le 1er quartile, on trace la droite horizontale
coupant l'axe des ordonnées au niveau y=0,25. On lit l'abscisse du point
d'intersection entre cette droite et le polygone des fréquences. J'ai trouvé
environ 27 pour le 1er quartile : c'est-à-dire que 25 % des adolescents
utilisent leur smartphone moins de 27 minutes / jour.
En effectuant la même chose avec une droite horizontale
passant à y=0,5, on trouve la médiane à environ 52 minutes. 50 %
des adolescents utilisent leur smartphone moins de 52 minutespar jour.
Et enfin,avec une droite passant à y=0,75, on trouve le 3ème
quartile à 102 minutes. 75 % des adolescents utilisent leur téléphone moins de
102 minutes par jour.
