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résolu

Bonjour, Je viens poster ici parce que étant plutôt bon élève en mathématiques, et voulant m'orienter en classe S, la professeur à décider de donner des devoirs maisons spéciaux pour les gens désireux de vouloir aller en S ^^ 

Mais là je sèche complètement sur le 2e exercice et sur le 3e aussi qui concerne celui ci les fonctions et équations. 

L'énoncé du 2 : "Un propriétaire dispose de 200m de clôture. Il envisage de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire ABCD.Un mur lui permet "d'économiser" la clôture sur le côté D ( Côté AD du rectangle = longueur = le mur )" 

On note x la longueur AB, en mètres et À l'aire, en m² du rectangle ABCD. 

1. Exprimer BC en fonction de x. Exprimer par la suite, l'aire en fonction de x. 

2. GRAPHIQUEMENT : -choisir un repère adapté 
-Tracer la courbe représentative de À 
-conjecturer pour quelle valeur de x, l'aire est-elle maximale. 
Quelles sont alors les dimensions de l'enclos ? 

Merci d'avance pour ceux qui m'eclaireront pour cette exercice

Répondre :

1) exprimer BC en fonction de x

p = BC + AB + CD = BC + 2x     (AB = CD) 

BC = p - 2AB = 200 - 2x

exprimer l'aire en fonction de x

A = BC x AB = (200 - 2x)*x

A(x) = 200x - 2x²

conjecturer pour qu'elle valeur de x l'aire est-elle maximale

A'(x) = 200 - 4x = 0 ⇒ x = 200/4 = 50 m

A(x) = 200(50) - 2(50)² = 10000 - 5000 = 5000 m²  

quelles sont les dimensions de l'enclos

AB = x = 50 m

BC = 200 - 2x = 200 - 2*50 = 200 - 100 = 100 m  

CROISIERFAMILYVIZ
1°) soit x = Longueur AB

clôture = mur + x + ( 2 * largeur ) = mur + x + ( 200 - x ) donc largeur = (200 - x ) / 2
                                                                                                              = 100 - 0,5 x
d' où largeur BC = 100 - 0,5 x

conclusion : Aire du rectangle = Longueur * largeur = x * ( 100 - 0,5 x ) = 100 x - 0,5 x²

2°) étudions la fonction A telle que A(x) = 100 x - 0,5 x² pour 0 < x < 150
      ( inutile de mener l' étude jusqu' à x = 200 ).
      Un tableau de valeurs avec x variant de zéro à 150 par pas de 25 suffira .
      Les points O (0;0) ; P (25;2188) ; Q (50;3750) ; R (75;4688) ; S (0;5000) ;
                        T (125;4688) ; U (150;3750) seront à placer dans le repère suivant : 
      Le repère convenable sera gradué ainsi :
       1 cm pour 10 en abscisses ( prévoir 15 cm de large ! )
        1 cm pour 400 en vertical ( prévoir 13 cm en hauteur ! )
      La représentation graphique de la fonction A est une Parabole "en pont"
       puisque le nombre placé devant "x²" est négatif ( - 0,5 est bien négatif ) .
      On observe que la fonction A admet un maximum pour x = 100
Conclusion : Aire maxi pour x = 100 mètres ; Aire maxi = 5000 mètres carrés ;
                     l' enclos sera rectangulaire, de Longueur 100 m et de largeur 50 mètres !
 
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