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résolu

Bonsoir je n'arrive pas à résoudre mon dm de math, pourriez vous m'aider???

Sujet:
ABC est un triangle. A',B' et C' sont les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB]. G est le point tel que les vecteur GA+GB+GC=0.
1. Montrer que les vecteur GA+GB=2GC'
2.En déduire que le point G appartient à la droite (CC')
3.Démontrer de façon analogue que le point G appartient au droite (AA ´) et (BB')
4.Que représente le points G pour le triangle ABC?

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

1) GA + GB

= (GC' + C'A) + (GC' + C'B)

= 2GC' + C'A + C'B

Or C' milieu de [AB] ⇒ C'A + C'B = 0 (vecteur nul)

⇒ GA + GB = 2GC'

2) D'après la définition du point G : GA + GB = -GC

Donc 2GC' = -GC

⇒ GC' et GC sont colinéaires

⇒ G ∈ (CC')

3)

GA + GC = (GB' + B'A) + (GB' + B'C)= 2GB' car B'A + B'C = 0

Or GA + GB = -GB ⇒ 2GB' = -GB ⇒ GB' et GB colinéaires ⇒ G ∈ (BB')

GB + GC = (GA' + A'B) + (GA' + A'C) = 2GA' car A'B + A'C = 0

Or GB + GB = -GA ⇒ 2GA' = -GA ⇒ GA' et GA colinéaires ⇒ G ∈ (AA')

4) G est donc l'intersection des médianes (AA'), (BB') et (CC')

⇒ G est le centre de gravité du triangle ABC
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