Bonjour,
on dérive :
g'(x) = 12x² - 12x - 78 = 12(x² - x - 6,5)
Δ = (-1)² - 4x1x(-6.5) = 1 + 26 = 27 = (3√3)²
Donc 2 racines :
x₁ = (1 - 3√3)/2 (≈ -2,1) et x₂ = (1 + 3√3)/2 (≈ 3,1)
x -∞ x₁ x₂ +∞
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) croissante décrois. croissante
Ensuite :
lim g(x) quand x→-∞ = lim 4x³ = -∞
lim g(x) quand x→+∞ = lim 4x³ = +∞
g(x₁) ≈ 140,3 et g(x₂) ≈ -140,3
On en déduit :
.qu'il existe un unique a ∈ ]-∞;x₁] tel que g(a) =0
.qu'il existe un unique b ∈ [x₁;x₂] tel que g(b) = 0
.qu'il existe un unique c ∈ [x₂;+∞[ tel que g(c) = 0
on trouve à la calculatrice :
a = -4
b = 0,5
c = 5
Donc on pouvait factoriser g(x) sous la forme :
g(x) = 4(x + 4)(x - 0,5)(x - 5)
Tableau de signes :
x -∞ -4 0,5 5 +∞
x+4 - 0 + + +
x-0,5 - - 0 + +
x-5 - - - 0 +
g(x) - 0 + 0 - 0 +
