Bonsoir,
1. Imaginons que 35 élèves ont eu 0, et que 1 élève a eu 18
Donc x̅ = (0*35+1*18)/36 = 18/36 = 0.5
Donc dans ce cas-là, la moyenne de la classe est 0.5, pourtant 1 seul élève a eu au-dessus de la moyenne : celui qui a eu 18.
1/36 < 18/36, donc la note moyenne n'indique pas que la moitié de la classe a eu plus que cette note.
Donc la proposition est fausse.
2. Imaginons que 34 élèves ont eu 0, que 1 élève a eu 20, et 1 élève a eu 16
Donc x̅ = (0*34+1*20+1*16)/36 = (20+16)/36 = 36/36 = 1
Donc dans ce cas-là, la moyenne de la classe est 1
Pourtant la demi-somme des notes extrêmes est égale à (0+20)/2 = 10
1 ≠ 10
Donc la proposition est fausse.
3. Soit x̅ la moyenne de la classe et ∑nᵢxᵢ la somme des notes.
L'effectif total de la classe étant 36, alors par définition, x̅ = (∑nᵢxᵢ)/36
D'où 36x̅ = ∑nᵢxᵢ
Donc la proposition est vraie.
4. Soit x̅ la moyenne initiale.
On a x̅ = (∑nᵢxᵢ)/36
On décide d'ajouter 2 points à chaque note. Soit x̅₁ la moyenne après augmentation. Comme il y a 36 notes, alors on a x̅₁ = (∑nᵢxᵢ+2*36)/36 = ((∑nᵢxᵢ)/36)+(2*36)/36 = ((∑nᵢxᵢ)/36)+2 = x̅+2
Donc l'affirmation est vraie.
5. Soit x̅ la moyenne de la classe, sachant que la note la plus haute est 14.
Soit y la somme des autres notes.
Donc x̅ = (y+14)/36
On décide d'ajouter 4.5 points à la plus haute note. Soit x̅₁ la moyenne après cette augmentation. Alors x̅₁ = (y+18.5)/36
Or x̅₁-x̅ = ((y+18.5)/36)-((y+14)/36) = (y+18.5-y-14)/36 = 4.5/36 = 0.125
Donc la proposition est vraie.
