Bonsoir,
Soit f la fonction définie sur ℝ par :
f(x) = (x+1)² si x ≤ -1
f(x) = (x+1)√(x+1) si -1 < x ≤ 0
f(x) = (2x+2)(x+2) si x > 0
1) Étudions la continuité de f en 0 :
f(0) = (0+1)√(0+1) = 1√1 = 1
De plus, [tex]\lim\limits_{x \rightarrow 0^+}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 0^+}\frac{2x+2}{x+2}=\frac{2(0)+2}{0+2}=\frac{2}{2}=1[/tex]
D'où [tex]\lim\limits_{x \rightarrow 0^+}f(x)=f(0)[/tex]
Donc f est continue en 0
Étudions la continuité de f en -1 :
f(-1) = (-1+1)² = 0² = 0
[tex]\lim\limits_{x \rightarrow -1^+}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow -1^+}(x+1)\sqrt{x+1}=(-1+1)\sqrt{-1+1}=0 \sqrt{0}=0 [/tex]
D'où [tex]\lim\limits_{x \rightarrow -1^+}f(x)=f(-1)[/tex]
Donc f est continue en -1
2. Pour h > 0, [tex]\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}= \frac{(-1+h+1)\sqrt{-1+h+1}-0 }{h}=\frac{h\sqrt{h}}{h}=\sqrt{h} [/tex]
D'où [tex]\lim\limits_{h \rightarrow 0^+}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\sqrt{0}=0[/tex]
Pour h < 0, [tex]\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}= \frac{(-1+h+1)^2-0}{h}= \frac{h^2}{h}=h[/tex]
D'où [tex]\lim\limits_{h \rightarrow 0^-}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=0[/tex]
Ainsi, [tex]\lim\limits_{h \rightarrow 0^+}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\lim\limits_{h \rightarrow 0^-}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}[/tex]
Donc f est dérivable en -1
