Bonsoir ;
1)
Veuillez-voir le fichier ci-joint .
2)
Le vecteur AB a pour coordonnées : 4 - 1 = 3 et - 2 - 1 = - 3 ;
et le vecteur AC a pour coordonnées : - 3 - 1 = - 4 et - 3 - 1 = - 4 ;
donc le produit scalaire de ces deux vecteurs est :
3 x (- 4) + (- 3) x (- 4) = - 12 + 12 = 0 ;
donc ces deux vecteurs sont orthogonaux ;
donc le triangle ABC est rectangle en A .
3)
Soit le point D de coordonnées : (x ; y) ;
donc le vecteur AD a pour coordonnées : x - 1 et y - 1 .
Le vecteur BA a pour coordonnées : - 3 et 3 ;
donc on a : x - 1 = - 3 et y - 1 = 3 ;
donc : x = - 2 et y = 4 .
4)
Soit le point E de coordonnées : (u ; v) ;
donc le vecteur DE a pour coordonnées : u + 2 et v - 4 ;
donc on a : u + 2 = 4 et v - 4 = 4 ;
donc : u = 2 et v = 8 .
5)
Soit le point F de coordonnées : (r ; t) ;
donc le vecteur AF a pour coordonnées : r - 1 et t - 1 ;
donc on a : r - 1 = 4 et t - 1 = 4 ;
donc : r = 5 et t = 5 .
6)
a)
Les coordonnées du vecteur CB sont : 4 + 3 = 7 et - 2 + 3 = 1 ;
et les coordonnées du vecteur DF sont : 5 + 2 = 7 et 5 - 4 = 1 ;
donc les vecteurs CB et DF sont égaux ;
donc le quadrilatère CBFD est un parallélogramme .
b)
Le vecteur AD a pour coordonnées : - 2 - 1 = - 3 et 4 - 1 = 3 ,
et le vecteur FE a pour coordonnées : 2 - 5 = 3 et 8 - 5 = 3 ,
donc les deux vecteurs AD et FE sont égaux ;
donc le quadrilatère ADEF est un parallélogramme .
De plus on a :
Le vecteur ED a pour coordonnées : - 2 - 2 = - 4 et 4 - 8 = - 4 ,
et le vecteur EF a pour coordonnées : 5 - 2 = 3 et 5 - 8 = - 3 ,
donc le produit scalaire de ces deux vecteurs est :
(- 4) x 3 + (- 4) x (- 3) = - 12 + 12 = 0 ;
donc ces deux vecteurs sont orthogonaux ;
donc le quadrilatère ADEF est un rectangle .
7)
Le produit scalaire des deux vecteurs AD et DE est :
(- 3) x 4 + 3 x 4 = - 12 + 12 = 0 ;
donc la droite (DE) est perpendiculaire à la droite (AD)
qui est le support du segment [OA] qui est le rayon du cercle
en question ; donc la droite (DE) est tangente au cercle
au point D .
