L'équation de la tangente en un point d'abscisse a à la courbe de f est donnée par la formule :
y = f ' (a) (x - a) + f (a).
Or, f ' (x) = 2x + 1 donc f ' (a) = 2a + 1.
et f (a) = a² + a + 1...
donc : y=(2a + 1) (x-a) + a² + a + 1.
Si cette tangente passe par le point A (0 ; -1) alors les coordonnées de A doivent vérifier son équation :
D'où yA = (2a + 1) (xA - a) + a² + a + 1 ce qui nous donne en remplaçant :
-1 = (2a +1) (-a) + a² + a + 1.
Si on développe tout cela, on obtient : -1 = -2a² - a + a² + a + 1 ssi a² = 2
Du coup, il y a deux solutions possibles (et donc deux tangentes passant par A), ce sont les tangentes aux points d'abscisses :
[tex] \sqrt{2} [/tex] et [tex]- \sqrt{2} [/tex]
