Bonjour,
1) f(x) = eˣ + 1/eˣ définie sur R
a) f'(x) = eˣ - eˣ/(eˣ)² = eˣ - 1/eˣ = (e²ˣ - 1)/eˣ
b) Signe de f'(x) = Signe de (e²ˣ - 1)
e²ˣ - 1 = 0 ⇔ e²ˣ = 1 ⇒ x = 0
x -∞ 0 +∞
f'(x) - 0 +
f(x) décroissante croissante
lim f(x) quand x → -∞ = +∞
f(0) = 2
lim f(x) quand x → +∞ = +∞
c) On en déduit que pour tout x ∈ R, f(x) ≥ 2
Soit eˣ + 1/eˣ ≥ 2 et donc eˣ + e⁻ˣ ≥ 2
2)
a) f"(x) = eˣ + eˣ/e²ˣ = eˣ + 1/eˣ = f(x)
b) Donc, pour tout x ∈ R, f"(x) ≥ 2
On en déduit que f'(x) est croissante sur R.
Et donc que f est convexe sur R
