exo 2 : f(x) = x3 + 2 x² - 20x + 24 donne f '(x) = 3 x² + 4x - 20 et f "(x) = 6x + 4
1°) étude du signe de f '(x) :
Discriminant = 4² - 4 * 3 * (-20) = 16 + 240 = 256 = 16²
d' où les valeurs de x pour lesquelles la dérivée est nulle
( tangentes horizontales ) : x =( -4 - 16)/6 = -20/6 = -10/3 = -3,33 environ
OU x = ( -4 + 16)/6 = 12/6 = 2
2°) La dérivée seconde est nulle pour x = -2/3 = -0,67 environ
donc le point d' inflexion J a pour coordonnées ( -2/2 ; 38 )
tableau-résumé :
x -infini -4 -3,33 -0,67 0 2 3 +infini
f '(x) + +12 0 - -21,3 - 0 +19 +
f(x) -infini 72 75,85 38 24 0 9 +infini
3°) cherchons l' équation de la tangente en A ( -4 ; 72 ) :
y = 12x + b devient 72 = 12 *(-4) + b donc 72 = -48 + b donc b = 120
conclusion : tangente en A ( y = 12x + 120 )
de même pour la tangente en B ( 3 ; 9 ) :
y = 19x - 48
4°) la Courbe est sous la tangente en A pour x < -2/3
5°) la Courbe est au-dessus de la tangente en B pour x > -2/3
6°) je te conseille de tracer sur l' intervalle [ -6 ; +4 ] ,
prendre 1 cm pour 4 en vertical
( graduation de zéro à 76 ; donc 19 cm en hauteur ! )
