Bonsoir,
Soit x∈ℝ
On rappelle les formules d'Euler :
cos(x) = (eⁱˣ+e⁻ⁱˣ)/2
sin(x) = (eⁱˣ-e⁻ⁱˣ)/(2i)
D'où :
cos²(x) = (eⁱˣ+e⁻ⁱˣ)²/(2²) = (e²ⁱˣ+2eⁱˣe⁻ⁱˣ+e⁻²ⁱˣ)/4 = (e²ⁱˣ+2eⁱˣ⁻ⁱˣ+e⁻²ⁱˣ)/4 = (e²ⁱˣ+2+e⁻²ⁱˣ)/4
sin²(x) = (eⁱˣ-e⁻ⁱˣ)²/(2²i²) = (e²ⁱˣ-2eⁱˣe⁻ⁱˣ+e⁻²ⁱˣ)/(-4) = -(e²ⁱˣ-2+e⁻²ⁱˣ)/4
Donc :
cos²(x)+sin²(x) = ((e²ⁱˣ+2+e⁻²ⁱˣ)/4)+(-(e²ⁱˣ-2+e⁻²ⁱˣ)/4) = ((e²ⁱˣ+2+e⁻²ⁱˣ)/4)-((e²ⁱˣ-2+e⁻²ⁱˣ)/4) = (e²ⁱˣ+2+e⁻²ⁱˣ-(e²ⁱˣ-2+e⁻²ⁱˣ))/4 = (e²ⁱˣ+2+e⁻²ⁱˣ-e²ⁱˣ+2-e⁻²ⁱˣ))/4 = 4/4 = 1
