1. Dans le rectangle ABCD, on doit avoir 2*AB+2*BC = 120
(puisque le périmètre du rectangle est constant égal à 120m)
Du coup, si x est la longueur AB alors ça donne 2x + 2*BC = 120
d'où, en isolant BC : 2*BC = 120 - 2x c'est à dire BC = 60 - x
2. Comme AB et BC sont des longueurs, on doit avoir à tout moment :
AB et BC positives donc :
AB > 0 entraine x > 0 et BC > 0 entraine 60 - x > 0 et donc x < 60.
Ainsi, x appartient à l'intervalle [0 ; 60].
3. L'aire d'un rectangle est donnée par la formule Longueur x largeur ou, ici :
AB x BC.
C'est à dire f(x) = x*(60 - x).
En développant, on obtient bien : f(x) = 60x - x² autrement dit f(x)=-x² + 60x
4. C'est un polynôme de degré 2 (du type, f(x) = ax² + bx + c) représenté graphiquement par une parabole avec les branches orientées vers le bas (puisque a < 0) et atteignant son maximum en x = - b/(2a) = - 60 / (-2) = 30
Ainsi, l'aire du rectangle est maximale si AB = BC = 30 m (autrement dit ABCD est un carré de côté 30 m)
