Bonjour,
(⇔ est le symbole d'équivalence)
On pose ϕ = (1+√5)/2
D'une part, on a ϕ² = ((1+√5)/2)² = (1+√5)²/(2²) = (1+√5)²/4 = (1+5+2√5)/4 = (6+2√5)/4 = (3+√5)/2
D'autre part, on a ϕ+1 = ((1+√5)/2)+1 = ((1+√5)/2)+(2/2) = (2+1+√5)/2 = (3+√5)/2
Donc ϕ² = ϕ+1
On pose 1/ϕ = ϕ-1 ⇔ 1 = ϕ(ϕ-1) ⇔ 1 = ϕ²-ϕ
Or on a démontré avant que ϕ² = ϕ+1
Donc 1 = ϕ²-ϕ ⇔ 1 = ϕ+1-ϕ ⇔ 1 = 1
Or 1 = 1 est vrai.
De plus, on obtient, par succession d'équivalence, que 1/ϕ = ϕ-1 ⇔ 1 = 1
Donc on conclut que 1/ϕ = ϕ-1 est vrai.
Donc 1/ϕ = ϕ-1
