Bonsoir,
D'après la question 1 :
Pour toute suite arithmétique (uₙ) définie sur ℕ*, [tex]\sum \limits_{k=1}}^n \frac{1}{u_ku_{k+1}} =\frac{n}{u_1u_{n+1}} [/tex]
Soient les suites (sₙ) et (tₙ) définies sur ℕ* par sₙ = 2n-1 et tₙ = n+9
D'où (sₙ) et (tₙ) sont arithmétiques respectivement de raisons 2 et 1, et de premiers termes s₁ = 2(1)-1 = 1 et t₁ = 1+9 = 10
De plus, on a :
s₂ = 2(2)-1 = 3
s₃ = 2(3)-1 = 5
sₙ₊₁ = 2(n+1)-1 = 2n+1
t₂ = 2+9 = 11
t₃ = 3+9 = 12
t₉₀ = 90+9 = 99
t₉₁ = 91+9 = 100
Donc :
[tex]S_n= \frac{1}{1*3}+\frac{1}{3*5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\sum \limits_{k=1}}^n \frac{1}{s_ks_{k+1}}=\frac{n}{s_1s_{n+1}}=\frac{n}{1*(2n+1)} [/tex][tex]=\frac{n}{2n+1} [/tex]
[tex]T_n= \frac{1}{10*11}+\frac{1}{11*12}+...+\frac{1}{99*100}=\sum \limits_{k=1}}^{90} \frac{1}{t_kt_{k+1}}=\frac{90}{t_1t_{91}}=\frac{90}{9*100}= \frac{1}{10} [/tex]
