partie A)
1) [tex] \lim_{x \to -\infty} f(x)=2 [/tex]
2) Asymptote horizontale en [tex]-\infty[/tex] d'équation [tex]y=2[/tex]
3) en développant: [tex](e^x-4)(e^x-\frac1 2)=e^{2x}-\frac {e^x} 2-4e^x+2 =e^{2x}-\frac{9}{2}e^{x}+2=f(x)[/tex]
4) [tex] \lim_{x \to \infty} e^x-4=\infty \\ \lim_{x \to \infty} e^x-\frac 1 2=\infty [/tex], par produit [tex] \lim_{x \to \infty} f(x)=\infty [/tex]
partie B
1) [tex]2e^x(e^x-\frac 9 4)=2e^{2x}-\frac 9 2e^x = f'(x)
[/tex]
2) On en déduit [tex]f'(x) \eeq 0[/tex] pour [tex]e^x-\frac 9 4 \leq 0[/tex] soit [tex]x \leq ln(\frac 9 4)[/tex], d où [tex]f[/tex] croissante sur [tex][ln(\frac94);\infty[[/tex] et décroissante sur [tex]]-\infty; ln(\frac94)][/tex]
Partie C
1) [tex]T_0:y=xf'(0)+f(0)=-\frac{5x}2-1.5[/tex]
2) D'après la A.3. [tex]f(x)=(e^x-4)(e^x-\frac12)[/tex], d'ou [tex]f(x)=0[/tex]⇔[tex]x=ln(4)[/tex] ou [tex]x=ln(\frac12)[/tex]
3) On sait que pour [tex]x \leq ln(\frac94)[/tex], [tex]f[/tex] est décroissante et [tex] \lim_{x \to \-infty} f(x)=2[/tex], donc pour [tex]x \leq ln(\frac94)[/tex], [tex]f(x) \leq 2[/tex].
Pour [tex]x \geq ln(\frac94)[/tex], [tex]f[/tex] est croissante, et [tex]f(x)=2[/tex]⇔[tex]e^{2x}=\frac92e^x[/tex]⇔[tex]e^x=\frac92[/tex]⇔[tex]x=ln(\frac92)[/tex].
Ainsi [tex]f(x) \leq 2[/tex] pour [tex]x \leq ln(\frac92)[/tex]
