Bonsoir ;
Problème n° 1 .
Soit x = AM ;
et comme on a : AA ≤ AM ≤ AB ;
donc : 0 ≤ x ≤ 6 .
L'aire du carré AMNP est : AM² = x² .
L'aire du triangle MNB est :
(1/2) MN * MB = (1/2) AM * (AB - AM) = (1/2) x(6 - x) = 3x - x²/2 .
Les deux aires sont égales si :
x² = 3x - x²/2 ;
donc : (3/2) x² - 3x = 0 ;
donc : 3x(x/2 - 1) = 0 ;
donc : x = 0 ou x/2 - 1 = 0 ;
donc : x = 0 ou x = 2 ;
donc les deux aires peuvent être égales ,
et ceci pour : AM = x = 2 cm .
2)
L'aire du trapèze ABNP est la somme de l'aire du carré AMNP
et du triangle MNB : x² + 3x - x²/2 = x² + 3x .
x²/2 + 3x = (1/2)(x² + 6x + 9 - 9) = (1/2)((x + 3)² - 9)
= (1/2)(x + 3)² - 9/2 ;
donc l'aire du trapèze augmente sur [0 ; 6] quand x augmente ,
donc cette aire augmente avec la longueur de AM .
3)
L'aire du trapèze est maximale quand x est maximale : x = 6 cm ;
donc cette maximale est : 3 * 6 + 6²/2 = 18 cm² .
