[tex]\frac{1}{x+1} - 1 + x = \frac{1-x-1+ x^{2} +1}{x+1} = \frac{ x^{2} -x+1}{x+1} [/tex]
or on sait que x²-x+1>0 sur ]0,1] et x+1>0 sur ]0,1] d'où
(1/(x+1)) - (1-x)> 0 ⇔ (1/(x+1)) > (1-x)
comme 0<x≤1 alors 0<x²≤1. Donc
(1/(x²+1)) > (1-x²)
2)
[tex]\frac{x}{1+x^{2}} \ \textgreater \ 1- x^{2} \Leftrightarrow \int\limits^1_0 {\frac{x}{1+x^{2}}} \, dx \ \textgreater \ \int\limits^1_0 {1- x^{2} } \, dx \\ or~~\int\limits^1_0 {1- x^{2} }=[x- \frac{ x^{3} }{3} ]0..1= \frac{2}{3} \\ d'ou~~\int\limits^1_0 {\frac{x}{1+x^{2}}} \, dx \ \textgreater \ \frac{2}{3} \ \textgreater \ \frac{1}{4} [/tex]
