Bonjour,
Soit la suite U(n) donnée par U(n)=cos(pi/2^n) avec n∈N.
1) U(0)=cos(pi/2^0)=cos pi=-1
U(1)=cos(pi/2^1)=cos(pi/2)=0
U(2)=cos(pi/2^2)=cos(pi/4)=√2/2
2) Si n≥1 alors 0≤(pi/2^n)≤pi/2 donc on en déduis que:
cos(pi/2)≤cos(pi/2^n)≤cos(0)
0≤u(n)≤1
On en déduis alors que ∀n∈N u(n)≥0 donc positive
3)a) On part de la formule:
cos(2t)=2cos²(t)-1 (formule de duplication)
avec t=pi/(2^n)
cos(2×pi/2^n)=2cos^2(pi/2^n)-1
cos(pi/2^(n-1))=2cos²(pi/2^n)-1
cos(pi/2^n)=√[(1/2)(cos(pi/2^(n-1))+1)]
u(n)=√((1/2)×(u(n-1)+1)]
b) On en déduis alors que:
U(n+1)=√((1/2)×(u(n)+1))
4) Je ne sais pas programmer donc je te la laisse
