Bonjour,
Soit f la fonction définie sur ℝ par [tex]f(x)=\frac{1}{N}\sum \limits_{{i=1}}^p n_i(x_i-x)^2[/tex]
1) D'où [tex]f(x)=\frac{1}{N}\sum \limits_{{i=1}}^p n_i(x_i-x)^2=\frac{1}{N}\sum \limits_{{i=1}}^p n_i(x_i^2-2x_ix+x^2)[/tex][tex]=\frac{1}{N}\sum \limits_{{i=1}}^p (n_ix_i^2-2n_ix_ix+n_ix^2)=\frac{1}{N}(\sum \limits_{{i=1}}^p n_ix_i^2-2x\sum \limits_{{i=1}}^pn_ix_i+x^2\sum \limits_{{i=1}}^pn_i)[/tex][tex]=\frac{1}{N}(\sum \limits_{{i=1}}^p n_ix_i^2-2xN\overline{x}+Nx^2)=\frac{1}{N}\sum \limits_{{i=1}}^p n_ix_i^2-2x\overline{x}+x^2[/tex][tex]=(1)x^2+(-2\overline{x})x+(\frac{1}{N}\sum \limits_{{i=1}}^p n_ix_i^2)[/tex]
Donc f(x) est de la forme ax²+bx+c, avec a = 1, b = -2x̅ et c = [tex]\frac{1}{N}\sum \limits_{{i=1}}^p n_ix_i^2[/tex]
2. Ainsi, -b/(2a) = -(-2x̅)/(2*1) = 2x̅/2 = x̅
Donc f admet un minimum en x̅, et ce minimum est égal à [tex]f(\overline{x})=\overline{x}^2-2\overline{x}^2+\frac{1}{N}\sum \limits_{{i=1}}^p n_ix_i^2=-\overline{x}^2+\frac{1}{N}\sum \limits_{{i=1}}^p n_ix_i^2[/tex]
Je te laisse donner à quoi ce résultat est égal dans une série statistique
