Bonsoir,
Soit f une fonction définie et dérivable sur ℝ⁺* dont sa courbe représentative est notée Cf.
1. Il est dit que le point A de coordonnées (1;0) appartient à Cf, donc f(1) = 0
f'(1) est le coefficient directeur de la droite tangente en A, donc par lecture graphique, on en déduit que f'(1) = -2
2. On définit désormais algébriquement f par f(x) = 2ln(x)+(4/x)-4
a) On sait que f est dérivable sur ℝ⁺*. On a alors f'(x) = 2*(1/x)+(-4/(x²)) = (2/x)+(-4/(x²)) = (2x/(x²))+(-4/(x²)) = (2x-4)/(x²)
b) On rappelle que x∈ℝ⁺*
f'(x) > 0 ⇒ (2x-4)/(x²) > 0 ⇒ (2x-4 > 0 et x² > 0) ou (2x-4 < 0 et x² < 0) ⇒ (2x > 4 et x > 0) ou (2x < 4 et x∈∅) ⇒ (x > 2 et x > 0) ou (x < 2 et x∈∅) ⇒ x∈(]2;+∞[∩ℝ⁺*)∪(]0;2[∩∅)
Or ]2;+∞[⊂ℝ⁺*, d'où ]2;+∞[∩ℝ⁺* = ]2;+∞[
De plus, on sait que pour tout intervalle A, A∩∅ = ∅
D'où f'(x) > 0 ⇒ x∈]2;+∞[∪∅
Or on sait que pour tout intervalle A, A∪∅ = A
Donc f'(x) > 0 ⇒ x∈]2;+∞[
Également, f'(x) = 0 ⇒ (2x-4)/(x²) = 0 ⇒ 2x-4 = 0 car 0∉ℝ⁺*
D'où f'(x) = 0 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
On en déduit alors que f'(x) < 0 ⇒ x∈]0;2[
Donc f est strictement décroissante sur ]0;2], puis strictement croissante sur [2;+∞[, en admettant un minimum en 2.
f(2) = 2ln(2)+(4/2)-4 = 2ln(2)+2-4 = 2ln(2)-2
[tex]\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=2ln(+\infty)+( \frac{4}{+\infty} )-4=+\infty+0-4=+\infty[/tex]
Sur ℝ⁺*, on a f(x) ≥ (1/x)-4, or [tex]\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} ( \frac{1}{x}-4)=+\infty-4= +\infty[/tex], donc par comparaison, [tex]\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} f(x)=+\infty[/tex]
Je te laisse dresser le tableau de variations.
3. f est continue et strictement monotone sur [4;6]
Or f(4) = 2ln(4)+(4/4)-4 < 0
Et f(6) = 2ln(6)+(4/6)-4 > 0
D'où 0∈f([4;6])
Donc d'après le théorème de la bijection, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur [4;6]
D'après la calculatrice, α ≈ 4.92
4. a) f' est dérivable sur ℝ⁺* comme quotient de fonctions dérivables.
On a f"(x) = (2x²-(2x-4)2x)/(x⁴) = (2x²-4x²+8x)/(x⁴) = (-2x²+8x)/(x⁴) = (-2x+8)/(x³)
On rappelle que x∈ℝ⁺*
f''(x) > 0 ⇒ (-2x+8 > 0 et x³ > 0) ou (-2x+8 < 0 et x³ < 0) ⇒ (2x < 8 et x > 0) ou (2x > 8 et x∈∅) ⇒ (2x < 8 et x > 0) ou x∈∅ ⇒ 2x < 8 et x > 0 ⇒ x < 4 et x > 0 ⇒ x∈]0;4[
f''(x) = 0 ⇒ (-2x+8)/(x³) = 0 ⇒ -2x+8 = 0 car x ≠ 0
D'où f''(x) = 0 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4
On en déduit alors que f''(x) < 0 ⇒ x∈]4;+∞[
Donc f est concave sur ]0;4[ et est convexe sur ]4;+∞[
b) D'après la réponse à la question précédente, f''(x) = 0 ⇒ x = 4
Donc Cf admet un point d'inflexion en 4.
Or f(4) = 2ln(4)+(4/4)-4 = 4ln(2)+1-4 = 4ln(2)-3
Donc le point d'inflexion de Cf a pour coordonnées (4;4ln(2)-3)
