Bonjour,
Commencer par relever ce qui est important :
Le triangle GEF est rectangle en E.
On connait EF = 5 cm, côté adjacent à l'angle F
On connait FG = 13 cm, hypoténuse
1°) Calculer la mesure de l'angle EFG, (avec la trigonométrie).
Cos(angle F) = Côté adjacent / Hypoténuse = EF/FG = 5/13
On utilise la calculatrice Arccos(5/13), elle affiche 67,3801...
La mesure de l'angle EFG est 67° environ.
2°) Montrer que EG mesure 12 cm
Comme GEF est un triangle rectangle en E, on peut donc utiliser le théorème de Pithagorre :
EG² = FG² - FE²
EG² = 13² - 5²
EG² = 169 - 25
EG = √144
EG = 12
La mesure de EG est bien 12 cm.
3°) On considère M ∈ [EG] tel que EM = 3 cm. Calculer GM
Calcul par différence = 12 - 3 = 9 cm
La mesure de GM est 9 cm.
4°) Les droites (MN) et (EF) sont elles parallèles ?
(NM) est perpendiculaire à EG d'une part et (FE) est perpendiculaire à EG d'autre part,
Or, lorsque deux droites sont perpendiculaires à une même troisième (droite) alors elles sont parallèles entre elles.
On peut donc en conclure que (MN) // (EF).
5°) Calculer GN.
Configuration Thalès :
- deux droites sécantes en G
- trois points alignés dans le même sens : G, N et F d'une part et G, M et E d'autre part
- deux droites parallèles : (NM) // (FE)
On pose les rapports de proportionnalité :
GE/GM = GF/GN = FE/MN
On remplace par les valeurs que l'on connaît :
12/9 = 13/GN = 5/MN
Produit en croix :
GN = 13×9÷12
GN = 9,75
La mesure de GN est 9,75 cm.
