Bonjour,
voir figure ci-joint
On pose :
AE = EF = FG = GA = X
et CH = HI = IJ = JC = Y
on a :
0 ≤ X ≤ 4 et 0 ≤ Y ≤ 4
De plus, E, F, I et alignés ⇒ X + Y = 4
Aire (AEFG) = X²
Aire (CHIJ) = Y²
Aire de la partie restante : A = (4 x 8) - X² - Y²
⇔ A = 32 - (X² + Y²)
X + Y = 4 et X, Y positifs ⇔ (X + Y)² = 16
soit : X² + 2XY + Y² = 16
et donc X² + Y² = 16 - 2XY
On en déduit : A = 32 - (X² + Y²) = 32 - (16 - 2XY) = 16 + 2XY
On veut A maximale. Donc il faut XY maximale.
X + Y = 4 ⇔ Y = 4 - X
⇒ XY = X(4 - X)
Soit f la fonction qui à X associe X(4 - X). On cherche alors le maximum de f.
f(X) = X(4 - X) = -X² + 4X = -(X - 2)² + 4
D'après cette forme canonique, f(X) atteint son maximum pour X = 2
ce donne f(2) = 4 et donc Y = 2 et A = 4 m²
Voir figure 2
