1)a) f(x+π)=4sin²(x+π).cos(2(x+π))
=4(-sin(x))².cos(2x+2π)
=4sin²(x).cos(2x)
=f(x)
donc f est π-périodique
b) f(π/2-x)=4sin²(π/2-x).cos(2(π/2-x))
=4cos²(x).cos(π-2x)
=-4cos²(x).cos(2x)
et
f(π/2+x)=4sin²(π/2+x).cos(2(π/2+x))
=4(-cos(x))².cos(π+2x)
=-4cos²(x).cos(2x)
donc f(π/2+x)=f(π/2-x)
donc la droite (d):y=π/2 est un axe de symétrie de Cf
2)a) f est dérivable sur ]0;π[ et f(x)=4sin²(x).cos(2x)
f'(x)=4(2.cos(x).sin(x).cos(2x)+sin²(x).(-2).sin(2x))
=4(sin(2x).cos(2x)-sin²(x).2.sin(2x))
=(4sin(2x)).(1-2sin²(x)-2.sin²(x))
=(4sin(2x)).(1-4sin²(x))
b) recherche des valeurs critiques :
f'(x)=0 donne sin(2x)=0 ou sin²(x)=1/4
donc 2x=0+2kπ ou sin(x)=1/2 ou sin(x)=-1/2
2x=π-0+2kπ
donc x=kπ ou x=π/6+2kπ ou x=-π/6+2kπ
x=π/2+kπ x=5π/6+2kπ x=7π/6+2kπ
dans l'intervalle d'étude D=[0;π] on obtient les valeurs :
x=0 ou x=π/6 ou x=π/2 ou x=5π/6 ou x=π
c) on déduit les variations de f sur [0;π]
* f croissante sur [0;π/6]
* f est décroissante sur [π/6;π/2]
* f est croissante sur [π/2;5π/6]
* f est décroissante sur [5π/6;π]
d) le tracé de Cf confirme l'étude précédente
