g(x)=(2x²-4x-1)/(x²+1)
1) a) g est définie si x²+1≠0
or cela est tjs vrai sur IR donc Dg=IR
b) d'apres le th de d'Alembert la limite d'un quotient à l'infini est égal à la limite des termes de + haut d°
donc lim(g(x),-∞)=lim(2x²/x²,-∞)=lim(2,-∞)=2
et lim(g(x),+∞)=lim(2x²/x²,+∞)=lim(2,+∞)=2
2) a) g est dérivable sur IR
g'(x)=((4x-4)(x²+1)-(2x)(2x²-4x-1))/(x²+1)²
=(4x³+4x-4x²-4-4x³+8x²+2x)/(x²+1)²
=(4x²+6x-4)/(x²+1)²
b) les valeurs critiques de f vérifient f'(x)=0
soit 4x²+6x-4=0 ou 2x²+3x-2=0
delta=25 ; x1=-2 ; x2=1/2
c) variations de g :
* g est croissante sur ]-∞;-2]
* g est décroissante sur [-2;1/2]
* g est croissante sur [1/2;+∞[
on vérifie tous ces calculs sur le graphique de Cg
Plots:
