1) A(n) est l'aire coloriée à l'étape
n
A(1)=1/9*1=1/9
A(2)=A(1)+1/9*(1-A(1))=1/9+1/9*8/9=17/81
.... etc
2)
A(n+1)=A(n)+1/9*(1-A(n))=8/9*A(n)+1/9
Ainsi, on pourra pas colorier tout le
carré car la limite de A(n) ne pourra jamais atteindre 1
3) Soit B(n) la suite correspondant à
l'aire non colorée
donc B(n)=1-A(n)
B(1)=8/9 ; B(2)=64/81 ; ... etc
donc la suite (b) est une suite
géométrique de 1er terme 8/9 et de raison 8/9
on déduit que pour tout entier n :
B(n)=8/9*(8/9)^(n-1)=(8/9)^n
donc A(n)=1-(8/9)^n
4) 0<8/9<1 donc
lim((8/9)^n,∞)=0
donc lim(B(n))=0 donc lim(A(n))=1
ainsi, en théorie, il sera possible de
colorier tout le carré mais seulement à l'infini !
