Bonjour ;
Partie A .
1)
Comme tu n'as pas de cours , voici un théorème sur les équations différentielles de premier degré :
Soient a ≠ 0 et b deux nombres réels .
Les solutions sur R de l'équation différentielle y' = ay + b sont
les fonctions définies sur R dont l'expression algébrique est :
f(x) = ke^{ax} - b/a avec k un nombre réel .
Pour ton exercice tu as : y' + 0,01y = 24 ;
donc : y' = - 0,01y + 24 ;
donc : a = - 0,01 et b = 24 ;
donc les solutions sont les fonctions définies sur R dont l'expression algébrique est : v(x) = ke^{- 0,01x} - 24/(- 0,01)
= ke^{- 0,01x} + 2400 avec k un nombre réel .
2)
Si x = 0 alors on a : v(0) = k + 2400 .
Si de plus on a : v(0) = 0 ,
alors on a : k + 2400 = 0 ;
donc : k = - 2400 et v(x) = - 2400 e^{- 0,01x} + 2400
= 2400(1 - e^{- 0,01x}) .
Partie B .
1)
Comme lim(t →+∞) e^{-0,01t} = 0 ;
donc lim(t →+∞) v(t) = lim(t →+∞) 2400(1 - e^{- 0,01 t}) = 2400 .
2)
v ' (t) = 2400 * 0,01 e^{- 0,01 t} = 24 e^{- 0,01 t} .
3)
v ' (t) = 24 e^{- 0,01 t} > 0 ;
donc v est croissante sur [0 ; + ∞ [ avec v(0) = 0 et lim(t →+∞) v(t) = 2400 .
4)
v(t) = 1200 ;
donc : 2400(1 - e^{- 0,01 t}) = 1200 ;
donc : 1 - e^{- 0,01 t} = 1200/2400 = 1/2 ;
donc : - e^{- 0,01 t} = -1/2 ;
donc : e^{- 0,01 t} = 1/2 ;
donc : ln(e^{- 0,01 t}) = ln(1/2) = - ln(2) ;
donc : - 0,01 t = - ln(2) ;
donc : 0,01 t = ln(2) ;
donc : t = ln(2)/0,01 = 100 ln(2) .
