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UYUUVIZ
résolu

Bonjour j'ai un dm à faire pour la rentrer mais je ne le comprend pas :

Soit ABC, un triangle.
A' est le milieu du segment [BC]
P est le milieu du segment [A'B]
B' est le milieu du segment [AC]
C' est le milieu du segment [AB]
R est tel que B est le milieu de [C'R]

Le but est de montrer que les points B' , P et R sont alignés.

1) Faire une figure.

2) 1ère méthode:
a) Exprimer les coordonnées des points A, B, C, B', P et R dans le repère (A ; B ; C).
b) Conclure.

3) 2ème méthode:
a) Exprimer CB' en fonction de CA ( ce sont des vecteurs donc il faut rajouter les flèche au dessus des deux letttres)
b) CP en fonction de CB
c) AR en fonction de AB
d) B'P et B'R en fonction de CA et CB
e) Conclure

Merci a ceux qui m'aideront

Répondre :

BERNIE76VIZ
Bonjour,

1ère méthode :

a)A(0;0)

B(1;0)

C(0;1)

A' (1/2;1/2)

B' (0;1/2)

Jusque-là , tu comprends sans soucis je pense.

Pour P et R , on va exprimer les vecteurs AP puis AR en fonction des vecteurs unités AB et AC . OK ?

AP=AA'+A'B/2

AA' (1/2;1/2)

A'B(1-1/2;0-1/2) soit A'B(1/2;-1/2) . OK ?

A'B/2(1/4;-1/4)

 AP(1/2+1/4;1/2-1/4) donc AP(3/4;1/4)

Donc P(3/4;1/4)

Je ne te conseille pas de trouver les coordonnées de  P sans justification , juste en regardant la figure.

AR=AB+BR

AB(1;0) et BR=C'B donc BR(1/2;0)

Donc AR(1+1/2;0+0) soit AR(3/2;0)

R(3/2;0)

On calcule les coordonnées de B'P puis PR .

B'P(3/4-0;1/4-1/2) soit B'P(3/4;-1/4)

PR(3/2-3/4;0-1/4) soit PR(3/4;-1/4)

Donc B'P=PR qui prouve que les points B', P et R sont alignés et que P est le milieu de [B'R].

2ème méthode :
a)
CB'=CA/2

b)

CP=CA'+A'B/2=CB/2+CB/4 car A'B=CB/2

CP=(3/4)CB

c)

AR=AB+BR mais BR=C'B=AB/2

AR=AB+AB/2=(3/2)AB

d)

B'P=B'C+CP=-(1/2)CA+(3/4)CB

B'R=B'A+AR=(1/2)CA+(3/2)AB=(1/2)CA+(3/2)(AC+CB)

B'R=(1/2)CA-(3/2)CA+(3/2)CB

B'R=-CA+(3/2)CB

e) On peut donc écrire :

(1/2)B'R=-(1/2)CA+(3/4)CB

qui prouve que : (1/2)B'R=B'P

Les vecteurs B'P et B'R sont colinéaires donc les points ...
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