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résolu

Sur la figure ci-dessus, on a tracé la pyramide HABCD dans le parallélèpipède rectangle ABCDEFGH. On donne : AB = 5 cm; AD = 4 cm et AE = 3 cm.
1) sur le segment [HD], on place le point I tel que HI = 1cm. sur le segment [HA], on place le point J tel que : HA = 3 x HJ
Démontrer que les droites (IJ) et (AD) sont parallèles.
2.a) Dans le triangle CDH, démontrer que HC = √34
b) La parallèle à [CD] passant par I coupe le segment [HC] en K. Calculer la valeur de HK
3.a) Dans le triangle BCH rectangle en C, démontrer que HB = √50
b) La parallèle à [BC] passant par K coupe le segment [HB] en L. Calculer la valeur exacte de HL.
4) Démontrer que les droites (JL) et (AB) sont parallèles.
MERCI à ces qui voudrons bien me donner les réponses a l'exercice merciiiii !

Répondre :

Bonjour ;

1)

Les points H , J et A sont alignés dans le même ordre que les points HID ;
et HJ/HA = HI/HD = 1/3 ; donc en appliquant la réciproque du théorème de Thalès les droites (IJ) et (AD) sont parallèles .

2)

a)

Le triangle HDC est rectangle en D ;
donc en appliquant le théorème de Pythagore on a :
HC² = DC² + DH² = 5² + 3² = 25 + 9 = 34 cm² ;
donc : HC = √(34) cm .

b)

Les droites (IK) et (DC) sont parallèles ;
et les droites (DI) et (CK) se coupent au point H ;
donc en appliquant le théorème de Thalès on a :
HK/HC = HI/HD ;
donc : HK/√(34) = 1/3 ;
donc : HK = √(34)/3 cm .

3)

a)

Le triangle BCH est rectangle en C , donc en appliquant le théorème
de Pythagore , on a :
HB² = CH² + CB² = (√(34))² + 4² = 34 + 16 = 50 cm² ;
donc : HB = √(50) cm .

b)

Les droites (LK) et (BC) sont parallèles ;
et (BL) et (CK) se coupent au point H ;
donc en appliquant le théorème de Thalès , on a :
HL/HB = HK/HC ;
donc : HL/√(50) = (√(34))/(3√(34)) = 1/3 ;
donc : HL = (√(50))/3 cm .
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