Bonjour
Partie A
♧1. Graphiquement on a : f(0)=1 ; f(1)=1 ; f(2)=-1
♧2. On a f(x) = (ax+bx²)e^(-x+2) + c d'où :
c = 1
(a+b) e^-1 + c = 1 d'où a = - b = - (-1) = 1
(2a+4b) + c = – 1 d'où 2b = - 2 d'où b = - 1
Partie B
1/
♧a. [tex] \lim____{x \to- \infty} [/tex] f(x) = - ∞
♧b. On a : [tex]e^{-x+2} = e^{-x} * e ^{2} = e ^{2} (xe^{-x} - x^{2} e^{-x} )+ 1[/tex]
♧c. [tex] \lim____{x \to- \infty} [/tex] f(x) = 1
2/ On a : [tex] f'(x) = (x - x^{2} ) * (-1) e^{-x+2} + (1 - 2x) e^{-x+2} = (1 - 3x + x^{2} ) e^{-x+2} [/tex]
3/
♧a.
--> f'(x) dépend du du polynôme car l’exponentielle est positive d'où 2 solutions : [tex] X1 = \frac{3- \sqrt{5} }{2} [/tex] et [tex] X2 = \frac{3+ \sqrt{5} }{2} [/tex] ..
--> On a donc : f'(x) croissante sur ] -∞ ; [tex] \frac{3- \sqrt{5} }{2} [/tex] ] ensuite décroissante sur [ [tex] \frac{3- \sqrt{5} }{2} [/tex] ; [tex] \frac{3+\sqrt{5} }{2} [/tex] ] et enfin croissante sur [ [tex] \frac{3+ \sqrt{5} }{2} [/tex] ;+∞[
♧b. A(0 ; 1) et B(1 ; 1)
♧c. Je te laisse faire ... il faut étudier le signe de f(x) - 1 = [tex](x- x^{2} ) e^{-x+2} [/tex]
4/
♧a. On a f(x) décroissante d'après le tableau de signe de plus continue : f(- 1) < 0 et f(0) > 0 donc une valeur unique de α d'où f(α) = 0
♧b. α € [-0,11; -0,10]
Voilà ^^
