1.a. cos(4x)=sin(x)
Or [tex]sin(x) = cos( \frac{\pi}{2} -x)[/tex]
l'équation se transforme donc en :
[tex]cos(4x) = cos( \frac{\pi}{2} -x)[/tex]
Or quand on a cos(a)=cos(b) alors cela implique que a=b+2k.pi avec k un entier.
Donc ici on obtient : [tex]4x= \frac{\pi}{2}-x + 2k \pi[/tex]
d'où
[tex]x= \frac{\pi}{10} + \frac{2}{5} k \pi[/tex]
Sur ]-pi ; pi[ les solutions sont donc :
[tex]\{ \frac{-7 \pi}{10} ; \frac{-3\pi}{10}; \frac{\pi}{10} ; \frac{\pi}{2} ; \frac{9 \pi}{10} \}[/tex]
2.a. mettons au carré l'égalité proposée :
[tex]sin^{2}(x) = (1/16)(\sqrt{5}-1)^{2}= (1/16)(6-2\sqrt{5})[/tex]
or une formule de trigonométrie nous donne :
[tex]sin^{2}(x) = \frac{1-cos(2x)}{2} [/tex]
de ces deux égalités on tire :
[tex]cos(2x) =1- \frac{6-2\sqrt{5}}{8} = 2\frac{1+\sqrt{5}}{8} = \frac{1+\sqrt{5}}{4} [/tex]
b. utilise cos(4x) = 2cos²(2x)-1
et remplace cos(2x) par l'expression qu'on vient de trouver
c. il suffit d'appliquer le résultat de la question 1
