Bonjour,
Soit la fonction [tex]\;f\;[/tex] définie et dérivable sur [tex]\;[1;\;+\infty]\;[/tex] telle que, pour tout nombre réel [tex]\;x\;[/tex] supérieur ou égale à 1:
[tex]f(x)=\dfrac{1}{x}\ln(x)[/tex]
1. Démontrer que la courbe C admet un asymptote horizontale
Voir pièce-jointe
2. Déterminer la dérivée f' de la fonction f sur ]1; ∞[.
[tex]f(x)=\dfrac{1}{x}\ln(x)\\\\\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\ln(x)\right)\\\\\\=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\ln(x)}{x}\right)\\\\\\=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{u}{v}\right)=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}\\\\\\u=\ln(x);\quad u'=\dfrac{1}{x};\quad v=x;\quad v'=1\\\\f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-1\times \ln(x)}{x^2}\\\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}}[/tex]
3) Étudier les variation de la fonction f sur [1; +∞]
[tex]f'(x)=0\\\\\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}=0\Rightarrow x\in\;]0; +\infty[\\\\1-\ln(x)=0\\-\ln(x)=-1\\\ln(x)=1\\\boxed{x=e}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|}x&1&&&e&&&+\infty\\&&&&&&&\\f'(x)&&+&&0&&-&\\&&&&&&&\\f(x)&0&\nearrow&&\dfrac{1}{e}&&\searrow&0\end{array}[/tex]
