Bonjour ;
Exercice n° 3 .
Partie A .
1)
[tex]\underset{x\rightarrow0^+}{lim} g(x) = \underset{x\rightarrow0^+}{lim} x -ln(x) = +\infty \ .\\\\\\ \underset{x\rightarrow +\infty}{lim} g(x) = \underset{x\rightarrow +\infty}{lim} x - ln(x) = \underset{x\rightarrow +\infty}{lim} x(1-\dfrac{ln(x)}{x})= +\infty \ .[/tex]
2)
[tex]g'(x) = 1-\dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x} \ ;[/tex]
donc pour x ∈ ] 0 ; 1 [ : g'(x) < 0 ; donc : g est décroissante ;
pour x ∈ ] 1 ; + ∞ [ : g'(x) > 0 ; donc g est croissante ;
et pour x = 1 : g'(1) = 0 .
Pour le tableau de variation , veuillez-voir le fichier ci-joint .
3)
D'après le tableau de variation , on a :
∀ x ∈ ] 0 ; + ∞ [ : g(x) ≥ 1 .
Partie B .
1)
f est définie pour x > 0 et x - ln(x) ≠ 0 ;
et comme on a , d'après la partie A que :
∀ x ∈ ] 0 ; + ∞ [ : x - ln(x) ≥ 1 ;
donc : Df = ] 0 ; + ∞ [ .
2)
[tex]\underset{x \rightarrow + \infty}{lim} f(x) = \underset{x \rightarrow + \infty}{lim} \dfrac{ln(x)}{x-ln(x)} = \underset{x \rightarrow + \infty}{lim} \dfrac{ln(x)}{x(1-\dfrac{ln(x)}{x})}=0 \ ; \\\\\\ \underset{x \rightarrow 0^+}{lim} f(x) = \underset{x \rightarrow 0^+}{lim} \dfrac{ln(x)}{x-ln(x)} = \underset{x \rightarrow 0^+}{lim} \dfrac{ln(x)}{ln(x)(\dfrac{x}{ln(x)}-1)} \\\\\\ = \underset{x \rightarrow 0^+}{lim} \dfrac{1}{\dfrac{x}{ln(x)}-1} = - 1 \ .[/tex]
3)
[tex]f'(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x}(x-ln(x)) - (1- \dfrac{1}{x})ln(x)}{(x-ln(x))^2} = \dfrac{1 - \dfrac{ln(x)}{x}-ln(x)+\dfrac{ln(x)}{x}}{(x-ln(x))^2} \\\\\\ = \dfrac{1 - ln(x)}{(x-ln(x))^2} \ ;[/tex]
On a : f ' (x) = 0 ;
si 1 - ln(x) = 0 ;
si ln(x) = 1 ;
si x = e .
Pour x ∈ ] 0 ; e [ : f ' (x) > 0 ; donc f est croissante ;
et pour x ∈ ] e ; + ∞ [ : f ' (x) < 0 ; donc f est décroissante .
Pour le tableau de variation , veuillez-voir le deuxième fichier ci-joint .
4)
Soit a(x) le coefficient directeur de la droite (AM) ; on a donc :
[tex]a(x) = \dfrac{f(x) - 1}{x} = \dfrac{\dfrac{ln(x)}{x-ln(x)} - 1}{x} = \dfrac{\dfrac{ln(x)- x +ln(x)}{x-ln(x)}}{x} \\\\\\ = \dfrac{\dfrac{2ln(x)- x }{x-ln(x)}}{x} = \dfrac{2ln(x)-x}{x(x-ln(x))} \ .[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow 0^+}{lim} a(x) =\underset{x\rightarrow 0^+}{lim} \dfrac{2ln(x)-x}{x(x-ln(x))} = \underset{x\rightarrow 0^+}{lim} \dfrac{ln(x)(2 - \dfrac{x}{ln(x)} )}{xln(x)( \dfrac{x}{ln(x)} -1)} \\\\\\ = \underset{x\rightarrow 0^+}{lim} \dfrac{2 - \dfrac{x}{ln(x)} }{x( \dfrac{x}{ln(x)} -1)} = - \infty \ .[/tex]
Le coefficient directeur de la droite (AM) tend vers l'infini quand
x tend vers 0 ; donc la droite (AM) tend à se confondre avec
l'axe des ordonnées .
