Bonjour,
1) MA² + MB²
= (MI + IA)² + (MI + IB)²
= MI² + 2MI.IA + IA² + MI² + 2MI.IB + IB²
= 2MI² + 2MI.(IA + IB) + (AB/2)² + (AB/2)² (car IA² = IB² = (AB/2)²)
= 2MI² + AB²/2 (car IA + IB = 0)
C'est le théorème de la médiane...
Donc : MA² + MB² = 82
⇔ 2MI² + AB²/2 = 82
⇔ 2MI² + 64/2 = 82
⇔ 2MI² = 50
⇔ MI² = 25
⇒ MI = 5
⇒ (E) cercle de centre I et de rayon 5.
2) MA² + MB² = k
⇔ MI² = (k - 32)/2
⇒ MI = √[(k - 32)/2]
C ∈ Ek ⇒ IC = √[(k - 32)/2]
Or IC² = 1/4 x (2BC² + 2AC² - AB²) (longueur d'une médiane dans un triangle quelconque)
Donc il faut : (k - 32)/2 = 1/4 x (72 + 50 - 64)
⇔ k - 32 = 1/2 x 58
⇒ k = 61
k = 61 ⇒ cercle de rayon R = √(29/2)
3) 61 ≤ MA² + MB² ≤ 82
anneau limité par les 2 cercles de centre I et de rayons respectifs 5 et R.
